العمود الساقط من رأس المثلث القائم


العمود الساقط من رأس المثلث القائم

العمود الساقط من رأس المثلث القائم، يعتبر المثلث ذلك الشكل المغلق ثنائي الأبعاد، وثلاثي الأضلاع، حي أنه يتكون من ثلاث قطع مستقيمة تُشكّل الأضلاع تتقاطع في نهايتها لتكوين الرؤوس أو الزوايا، وتتم تسمية المثلث غالباً اعتمادً على رؤوسه، وله ثلاث زوايا يكون مجموع قياسها 180 درجة، ودائماً ما يقابل أقصر ضلع من المثلث أصغر زاوية داخلية، ويقابل أطول ضلع من المثلث أكبر زاوية داخلية.

خصائص عامة للمثلث

يُمكن تلخيص أهم خصائص المُثلث العامة على النحو الآتي:

  • مجموع زوايا المثلث الثلاثة يساوي 180 درجة.
  • مجموع طول أي ضلعين من أضلاع المُثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
  • الفرق بين طول أيّ ضلعين من أضلاع المُثلث أقلّ من طول الضلع الثالث.
  • الضلع المُقابل للزاوية الكبرى في المُثلث هو الضلع الأطول.
  • الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليّتين البعيدتين، وتُعرف هذه الخاصية باسم (خاصية الزاوية الخارجية).
  • يتشابه المثلثان إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل من المثلثين مُتطابقة وأطوال أضلاعهما مُتناسبة.
  • قانون مساحة المثلث ومحيط المثلث هما النحو الآتي:
  1. مساحة المثلث=½×القاعدة×الارتفاع.
  2. محيط المثلث =مجموع جميع أضلاعه الثلاثة.
  • يُعرف المُثلث الذي يكون قياس جميع زواياه أقل من 90 درجة بالمُثلث حادّ الزوايا.
  • يُعرف المُثلث الذي يمتلك زاوية واحدة قياسها أكبر من 90 درجة بالمُثلث مُنفرج الزاوية.

خصائص المثلث قائم الزاوية

يُمكننا تعريف المثلث قائم الزاوية على أنه هو المثلث الذي يمتلك زاوية قائمة التي يكون قياسها 90 درجة، وتكون باقي زواياه حادة، كما أن الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى بالوتر وهو يعد أطول ضلع من أضلاع المثلث، ويُمكننا حساب طوله باستخدام نظرية فيثاغورس، حيث يساوي مربع طول الوتر مجموع مربع كل ضلع من أضلاع المثلث الأخرى: (الوتر)²=(الضلع الأول)²+ (الضلع الثاني)²، وبالرموز: أ²=ب²+ج²؛ حيث:

  • أ: طول وتر المثلث قائم الزاوية.
  • ب، ج: أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية الأخرى.

يوجد للمثلث قائم الزاوية عدّة خصائص تتلخص فيما يلي:

  • يُمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية متساوي الساقين إذا تساوى طول الضلعين اللذين يحصران الزاوية القائمة بينهما.
  • لا يُمكن للمثلث قائم الزاوية أن يكون متساوي الأضلاع؛ لأن طول الوتر دائماً أكبر من أطوال الأضلاع الأخرى.
  • يُنصّف المتوسط الممتد من الوتر المثلث قائم الزاوية إلى مثلثين متطابقين يكون كلّ منها متساوي الساقين.
  • يكون طول المتوسط المرسوم من الزاوية القائمة مساوياً لطول نصف الوتر.
  • يملك المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين زاوية قائمة وزاويتين حادّتين قياس كلّ منهما 45 درجة، ويكون طول الضلعين الآخرين فيه متساوياً.
  • يمنلك المثلث قائم الزاوية ومختلف الأضلاع زاوية قائمة وزاويتين حادّتين قياس كلّ منهما مختلف عن الآخر، وتكون أطوال الأضلاع مختلفة أيضاً.

نظريات مثلث قائم الزاوية

يوجد للمثلث قائم الزاوية نظريات متعددة، يمكننا التعرف عليها فيما يلي بالشرح الكامل:

  • نظرية *1*

للمثلث القائم الزاويةخاصية ينفرد بها عن بقة المثلثات برهانها الفيلسوف اليوناني الشهير “فيثاغورس” 580 قبل الميلاد، فقد عرفت باسمه على الرغم من أنها كانت معروفة ومطبقة عملياً لدى قدما المصريين والبابليين والهنود قبل عصر فيثاغورس وهي واحدة من النطريات الأساسية في المثلثات.

نص نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساوياً مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة، مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث من الممكن تعميم نظرية فيثاغورس لتشمل أي مثلث عبر قانون الجيب وهو صحيح من أجل كل المثلثات حتى ولو لم تكن قائمة.

  • نظرية *2*

في المثلث القائم الذي زواياه 30-60-90 يكون طول الضلع المقابل للزاوية لايت قياسها 30 ْ يساوي نصف طول الوتر.

  • نظرية *3*

اذا اختلف طولا ضلعين في المثلث فأكبرهما في الطول تقابله زاوية أكبر في القياس من قياس الزاوية المقابلة للآخر والعكس صحيح.

  • نظرية *4*

اذا كان مربع طول الضلع الأطول في مثلث أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين فان المثلث حاد الزواي.

  • نظرية *5*

اذا كان مربع طول الضلع الأطول في مثلث أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين فان المثلث منفرج الزاوية وتكون الزاوية المنفرجة هي الزاوية المقابلة للضلع الأكبر.

  • نظرية *6* 

اذا كان مربع طول الضلع الأطول في مثلث متساوياً لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين فان المثلث قائم الزاوية وتكون الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة للضلع الأكبر “عكس نظرية فيثاغورس”.